Kumpulan Soal-soal OSN Matematika SMP Materi Aljabar dan Pembahasannya
Materi olimpiade matematika SMP adalah materi sekolah SMP dan pendalamannya ditambah dengan beberapa materi baru yang bisa saja tidak di ajarkan pada jenjang smp. Secara umum, ada 4 bidang yang diujikan dalam olimpiade matematika yaitu Aljabar, Teori Bilangan, Geometri, serta Peluang dan Statistika. Adapun Pokok bahasan yang diberi perhatian khusus yang biasanya dijadikan sebagai bahan dalam membuat soal-soal osn, dapat dilihat pada penjelasan di bawah ini.
1. Teori Bilangan
Dalam postingan kali ini, kelasmat akan mencoba menyajikan soal-soal yang mengacu pada uraian diatas khusus untuk Bab Materi Aljabar. dimana soal-soal yang kelasmat sajikan berikut ini merupakan hasil mengumpulkan dari berbagai sumber.
Contoh Soal 1 :
Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = .... (OSP 2004)
Jawaban:
Kalau kita jumlah ketiga persamaan tersebut, maka akan didapat:
(a + b) + (b + c) + (c + a) = 1 + 2 + 3
\( \Leftrightarrow \) 2a + 2b + 2c = 6
\( \Leftrightarrow \) 2(a + b + c) = 6
Jadi a + b + c = 3
Contoh Soal 2:
Buktikan bahwa jika \(a > 2\) dan \(b > 3\) maka \(ab + 6 > 3a + 2b\) (OSN 2003)
Jawaban :
Karena \(a > 2\) dan \(b > 3\) maka \(a - 2 > 0\) dan \(b - 3 > 0\), sehingga
(a - 2)(b - 3) > 0
\( \Leftrightarrow \) ab - 3a - 2b + 6 > 0
\( \Leftrightarrow \) ab + 6 > 3a + 2b .............Terbukti
Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 - 3x + c. jika f(1) = 4 dan f(2) = 7 maka f(-1) = . . . .
Jawaban:
jika f(1) = 4, \( \Leftrightarrow \) a - 3 + c = 4
\( \Leftrightarrow \) a + c = 7, sehingga:
f(-1) = a + 3 + c = a + c + 3 = 10
jadi nilai f(-1) = 10.
Jika \(\frac{{{{(y - x)}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{(y - z)}^2}}}{{z - x}} = y - z~dan~x \ne z\), maka nilai y = . . .(OSP 2009)
Jawaban:
\( y - z = \frac{{{{(y - x)}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{(y - z)}^2}}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{{{(y - x)}^2} - {{(y - z)}^2}}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{\{ (y - x) - (y - z)\} \{ (y - x) + (y - z)\} }}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{(y - x - y + z)(y - x + y - z)}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = 2y - x - z\)
Sehingga di dapat y = x
Diketahui bahwa \(x + \frac{1}{x} = 7\). Tentukan nilai A agar \(\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\) .(OSN 2007)
Jawaban:
Dari \(x + \frac{1}{x} = 7\) diperoleh : \({7^2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 49 = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\) sehingga \(47 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\) dengan demikian
\(\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{5}{6} \times \frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^2}}} = \frac{5}{6}\left( {{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = \frac{5}{6}\left( {48} \right) = 40\)
Jadi Nilai A = 40.
Contoh Soal 6:
Tentukan nilai m agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real.
Jawaban:
Perhatikan bahwa 2x2 + 2mx - (m + 1) = 0 memiliki Diskriminan :
D =2m2 - 4(2)(-(m + 1) = 4m2 + 8m + 8 = 4(m2 + 2m + 2) = 4(m + 1)2 + 4 \( \ge \) 4 \( \ge \) 0 sehingga persamaan itu memiliki 2 solusi real berbeda. Dengan demikian agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real berbeda, haruslah persamaan x2 + mx + 1 tidak memiliki solusi real, atau dengan kata lain memiliki D < 0, yakni m2 - 4 < 0 \( \Leftrightarrow \) -2 < m < 2.
Jadi nilai m yang dimaksud adalah -2 < m < 2.
Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...... (OSK 2003)
Jawaban:
Misal salah satu bilangan tersebut adalah 12 - x . Dengan demikian hasil kalinya adalah x(12 - x) = 12x - x2 = -(x2 - 12x + 36) + 36 = - (x-6)2 + 36 \( \le \) 36.
Jadi nilai maksimum dari hasil perkaliannya adalah 36 dan terjadi saat x = 6.
Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?
Misalkan B menyusul A setelah x. Waktu kendaraan Aa dan B berturut-turut adalah x + 2 dan x, sehingga jarak yang ditempuh kendaraan A dan B berturut-turut adalah 60(x + 2) dan 80x. Kendaraan B menyusul kendaraan A terjadi saat jarak yang ditempuh B sama dengan jarak yang di tempuh A, yaitu 60(x + 2) = 80x \( \Leftrightarrow \) 3(x + 2) = 4x \( \Leftrightarrow \) x = 6
Jadi Kendaraan B menyusul A setelah 6 jam. Jawab e.
Contoh soal 9:
Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ...hari. (OSK 2004) Jawaban:
diketahui bahwa kecepatan makan 7 ekor kambing adalah \(\frac{{7~lapangan}}{{7~hari}} = 1~lapangan/hari\) Sehingga kecepatan makan 1 ekor kambing adalah \(\frac{1}{7}~lapangan\) akibatnya kecepatan makan 3 ekor kambing adalah \(\frac{3}{7}~lapangan\) dengan demikian, rumput seluas 3 lapangan akan dihabiskan dalam waktu \(\frac{3}{{\frac{3}{7}}}\) = 7 hari.
Jika \(a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \) maka b dinyatakan dalam a adalah . . .
Menurut definisi akar, maka \(a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{b}{{1 - b}}\) sehingga
\(b = (1 - b){a^2} \Leftrightarrow b = {a^2} - b{a^2} \Leftrightarrow b + b{a^2} = {a^2} \Leftrightarrow b(1 + {a^2}) = {a^2}\)
Dengan demikian \(b = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\) jawab c.
Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD.... berulang sampai tak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533? (OSN 2003)
Jawaban:
Perhatikan bahwa pola di atas berulang setiap 10 suku yaitu ABBCCCDDDD. Dengan demikian, kita cukup mencari digit terakhir dari 2533. Digit terakhir dari 2533 = 32 x 27 adalah 4. Sehingga huruf yang menempati urutan ke 2533 sama dengan huruf keempat dari barisan tersebut yaitu huruf C.
Contoh soal 12:
Nilai dari \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\) adalah . . .(OSP 2009)
Jawaban:
Kita akan menggunakan pemfaktoran \({x^2} - {y^2} = (x - y)(x + y)\)
S = \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\)
= (2009-2008)(2009+2008)+(2007-2006)(2007+2006)+ . . .+ (3-2)(3+2)+1
= 4017 + 4013 + . . . + 5 + 1
= 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017
Perhatikan bahwa 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017 merupakan deret aritmetika dengan a=1, b= 4 dan Un = 4017 .
Dari Un = 4017 di peroleh banyaknya suku pada deret tersebut:
Un = a + (n-1)b = 4017 \( \Leftrightarrow \) 1 + (n-1)4=4017 \( \Leftrightarrow \) 4n = 4020 \( \Leftrightarrow \) n = 1005
Jadi banyak Suku pada deret tersebut ada 1005 suku. Dengan demikian :
\(S = \frac{1}{2}n(a + {u_n}) = \frac{{1005(1 + 4017)}}{2} = \frac{{1005(4018)}}{2} = 2.019.045\)
Jadi \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\) = 2.019.045.
- Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan bulat.
- Pembagian Bersisa
- Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan rasional
- Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan real.
- Klasifikasi bilangan (bulat, pecahan, rasional, irrasional)
- Merasionalkan bentuk akar. - FPB dan KPK
- Himpunan
- Himpunan bagian
- Operasi dua himpunan - Fungsi - Pengertian fungsi
- Sifat-sifat fungsi secara umum - Perbandingan - Perbandingan senilai
- Perbandingan berbalik nilai - Faktorisasi suku aljabar
- Bentuk a2 - b2 = (a + b)(a - b)
- Bentuk (a + b)n - Persamaan garis lurus
- Pertidaksamaan linier satu variabel
- Sistem persamaan linier dua variabel
- Eksponen dan logaritma
- Pola bilangan
- Persamaan kuadrat
- Bangun datar
- Segi-n dan lingkaran
- Garis tinggi dan garis berat segitiga
- Titik berat segitiga - Bangun ruang
- Volume tabung, kerucut dan bola
- Volume tabung dan kerucut terpancung
- Luas selimut tabung, kerucut dan bola
- Luas selimut tabung dan kerucut terpancung - Dalil Pythagoras
- Trigonometri
- Peluang kejadian
- Ukuran pemusatan
- Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari
- Kemampuan menyerap materi baru (definisi baru)
Dalam postingan kali ini, kelasmat akan mencoba menyajikan soal-soal yang mengacu pada uraian diatas khusus untuk Bab Materi Aljabar. dimana soal-soal yang kelasmat sajikan berikut ini merupakan hasil mengumpulkan dari berbagai sumber.
Daftar isi Bacaan :
Aljabar
Aljabar adalah materi dasar yang digunakan untuk memahami bidang-bidang lainnya. Materi ini sebagian besar sudah dipelajari di sekolah (materi-materi rutin). Dengan demikian, di sini kita hanya perlu memperdalam pengetahuan dan teknik dalam penyelesaian soal nyata di olimpiade atau osn matematika smp. Namun, Dalam memahami materi-materi aljabar, kita tidak bisa terlepas dari materi persamaan. Oleh karena itu, diharapkan pembaca sudah menguasai persamaan yang telah dipelajari di sekolah yaitu teknik-teknik menyelesaikan persamaan ataupun sistem persamaan seperti metode grafik, metode subtitusi, dan metode eliminasi serta perlu juga mempelajari teknik-teknik penyelesaian tidak rutin selain tiga teknik tersebut.Persamaan dan pertidaksamaan
Contoh Soal 1 :
Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = .... (OSP 2004)
Jawaban:
Kalau kita jumlah ketiga persamaan tersebut, maka akan didapat:
(a + b) + (b + c) + (c + a) = 1 + 2 + 3
\( \Leftrightarrow \) 2a + 2b + 2c = 6
\( \Leftrightarrow \) 2(a + b + c) = 6
Jadi a + b + c = 3
Contoh Soal 2:
Buktikan bahwa jika \(a > 2\) dan \(b > 3\) maka \(ab + 6 > 3a + 2b\) (OSN 2003)
Jawaban :
Karena \(a > 2\) dan \(b > 3\) maka \(a - 2 > 0\) dan \(b - 3 > 0\), sehingga
(a - 2)(b - 3) > 0
\( \Leftrightarrow \) ab - 3a - 2b + 6 > 0
\( \Leftrightarrow \) ab + 6 > 3a + 2b .............Terbukti
Fungsi
Contoh Soal 3:Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 - 3x + c. jika f(1) = 4 dan f(2) = 7 maka f(-1) = . . . .
Jawaban:
jika f(1) = 4, \( \Leftrightarrow \) a - 3 + c = 4
\( \Leftrightarrow \) a + c = 7, sehingga:
f(-1) = a + 3 + c = a + c + 3 = 10
jadi nilai f(-1) = 10.
Faktorisasi Bentuk Aljabar
Contoh Soal 4:Jika \(\frac{{{{(y - x)}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{(y - z)}^2}}}{{z - x}} = y - z~dan~x \ne z\), maka nilai y = . . .(OSP 2009)
Jawaban:
\( y - z = \frac{{{{(y - x)}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{(y - z)}^2}}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{{{(y - x)}^2} - {{(y - z)}^2}}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{\{ (y - x) - (y - z)\} \{ (y - x) + (y - z)\} }}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{(y - x - y + z)(y - x + y - z)}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = 2y - x - z\)
Sehingga di dapat y = x
Kuadrat sempurna dan Persamaan Kuadrat
Contoh Soal 5:Diketahui bahwa \(x + \frac{1}{x} = 7\). Tentukan nilai A agar \(\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\) .(OSN 2007)
Jawaban:
Dari \(x + \frac{1}{x} = 7\) diperoleh : \({7^2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 49 = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\) sehingga \(47 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\) dengan demikian
\(\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{5}{6} \times \frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^2}}} = \frac{5}{6}\left( {{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = \frac{5}{6}\left( {48} \right) = 40\)
Jadi Nilai A = 40.
Contoh Soal 6:
Tentukan nilai m agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real.
Jawaban:
Perhatikan bahwa 2x2 + 2mx - (m + 1) = 0 memiliki Diskriminan :
D =2m2 - 4(2)(-(m + 1) = 4m2 + 8m + 8 = 4(m2 + 2m + 2) = 4(m + 1)2 + 4 \( \ge \) 4 \( \ge \) 0 sehingga persamaan itu memiliki 2 solusi real berbeda. Dengan demikian agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real berbeda, haruslah persamaan x2 + mx + 1 tidak memiliki solusi real, atau dengan kata lain memiliki D < 0, yakni m2 - 4 < 0 \( \Leftrightarrow \) -2 < m < 2.
Jadi nilai m yang dimaksud adalah -2 < m < 2.
Ketaksamaan
Contoh 7:Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...... (OSK 2003)
Jawaban:
Misal salah satu bilangan tersebut adalah 12 - x . Dengan demikian hasil kalinya adalah x(12 - x) = 12x - x2 = -(x2 - 12x + 36) + 36 = - (x-6)2 + 36 \( \le \) 36.
Jadi nilai maksimum dari hasil perkaliannya adalah 36 dan terjadi saat x = 6.
Perbandingan
Contoh soal 8:Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?
- 2 jam
- 3 jam
- 4 jam
- 5 jam
- 6 jam
Misalkan B menyusul A setelah x. Waktu kendaraan Aa dan B berturut-turut adalah x + 2 dan x, sehingga jarak yang ditempuh kendaraan A dan B berturut-turut adalah 60(x + 2) dan 80x. Kendaraan B menyusul kendaraan A terjadi saat jarak yang ditempuh B sama dengan jarak yang di tempuh A, yaitu 60(x + 2) = 80x \( \Leftrightarrow \) 3(x + 2) = 4x \( \Leftrightarrow \) x = 6
Jadi Kendaraan B menyusul A setelah 6 jam. Jawab e.
Contoh soal 9:
Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ...hari. (OSK 2004) Jawaban:
diketahui bahwa kecepatan makan 7 ekor kambing adalah \(\frac{{7~lapangan}}{{7~hari}} = 1~lapangan/hari\) Sehingga kecepatan makan 1 ekor kambing adalah \(\frac{1}{7}~lapangan\) akibatnya kecepatan makan 3 ekor kambing adalah \(\frac{3}{7}~lapangan\) dengan demikian, rumput seluas 3 lapangan akan dihabiskan dalam waktu \(\frac{3}{{\frac{3}{7}}}\) = 7 hari.
Eksponen
contoh soal 10.Jika \(a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \) maka b dinyatakan dalam a adalah . . .
- \(b = 1 + {a^2}\)
- \(b = \frac{{1 + {a^2}}}{{{a^2}}}\)
- \(b = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\)
- \(b = \frac{{1 - {a^2}}}{{{a^2}}}\)
- \(b = \frac{{{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\)
Menurut definisi akar, maka \(a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{b}{{1 - b}}\) sehingga
\(b = (1 - b){a^2} \Leftrightarrow b = {a^2} - b{a^2} \Leftrightarrow b + b{a^2} = {a^2} \Leftrightarrow b(1 + {a^2}) = {a^2}\)
Dengan demikian \(b = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\) jawab c.
Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 11.Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD.... berulang sampai tak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533? (OSN 2003)
Jawaban:
Perhatikan bahwa pola di atas berulang setiap 10 suku yaitu ABBCCCDDDD. Dengan demikian, kita cukup mencari digit terakhir dari 2533. Digit terakhir dari 2533 = 32 x 27 adalah 4. Sehingga huruf yang menempati urutan ke 2533 sama dengan huruf keempat dari barisan tersebut yaitu huruf C.
Contoh soal 12:
Nilai dari \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\) adalah . . .(OSP 2009)
Jawaban:
Kita akan menggunakan pemfaktoran \({x^2} - {y^2} = (x - y)(x + y)\)
S = \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\)
= (2009-2008)(2009+2008)+(2007-2006)(2007+2006)+ . . .+ (3-2)(3+2)+1
= 4017 + 4013 + . . . + 5 + 1
= 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017
Perhatikan bahwa 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017 merupakan deret aritmetika dengan a=1, b= 4 dan Un = 4017 .
Dari Un = 4017 di peroleh banyaknya suku pada deret tersebut:
Un = a + (n-1)b = 4017 \( \Leftrightarrow \) 1 + (n-1)4=4017 \( \Leftrightarrow \) 4n = 4020 \( \Leftrightarrow \) n = 1005
Jadi banyak Suku pada deret tersebut ada 1005 suku. Dengan demikian :
\(S = \frac{1}{2}n(a + {u_n}) = \frac{{1005(1 + 4017)}}{2} = \frac{{1005(4018)}}{2} = 2.019.045\)
Jadi \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\) = 2.019.045.
![Tips Sukses Mengerjakan Soal Tes TPA Masuk Perguruan Tinggi [100% Ampuh]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY3CZ7PlYn77NtOlzdgbfVVWuWK0F3NEOyYYemY7OiZlWYN46n265QOAu8_AanGFQ0L3Sv8UVODpzTQ0bkjWt2rE1F6WfbUMd5ki5unZ_EG_gS3LwPEHAgTsiomDXJbhCZZsb6cSF3Nw0/s1600/tpa.png)
