Sifat Perpangkatan, Sifat Akar dan Sifat-sifat Logaritma

CS Terpeka
17 Apr, 2020
Pada kesempatan kali ini, kelasmat kembali memberikan materi matematika tentang bentuk akar, pangkat dan logaritma.

Bentuk Pangkat

Tahukah kamu siapa orang yang pertama kali menggunakan notasi pangkat? Yap benar dia adalah Rene Descartes (1596 – 1650). Rene Descartes adalah seorang ahli Matematika dari Prancis yang pertama kali menggunakan notasi pangkat kira-kira pada tahun 1637 (sumber Ensiklopedia Matematika).
Sifat Perpangkatan, Sifat Akar dan Sifat-sifat Logaritma
René Descartes, juga dikenal sebagai Renatus Cartesius dalam literatur berbahasa Latin. Ia merupakan seorang filsuf dan matematikawan Prancis yang terkenal. Salah satu Karyanya yang terpenting adalah Discours de la méthode dan Meditationes de prima Philosophia. Rene Descartes sering juga disebut sebagai bapaknya filsafat modern.
Nah Secara umum perpangkatan bilangan bulat positif suatu bilangan real didefinisikan sebagai berikut:
\({a^n} ~= ~a ~\times ~a~ \times ~a~ \times ~.~.~.~ \times ~a\) \( \to \)(perkalian berulang sebanyak n kali)


Adapun secara lengkap Sifat-sifat perpangkatan bilangan bulat untuk a, b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (R = himpunan bilangan real dan B = himpunan bilangan bulat) adalah sebagai berikut:
  1. \({a^m} \times {a^n} = {a^{m + n}}\)
  2. \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)
  3. \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m \times n}}\)
  4. \({\left( {ab} \right)^n} = {a^m} \times {b^n}\)
  5. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)
  6. \({a^0} = 1\)
  7. \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\)


Bentuk Akar

Pada bentuk akar, maka berlaku sifat-sifat berikut:
  1. \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)
  2. \(m\sqrt a \times n\sqrt b = m \times n\sqrt {a \times b} \)
  3. \(\frac{{m\sqrt a }}{{n\sqrt b }} = \frac{m}{n}\sqrt {\frac{a}{b}} \)
  4. \(\sqrt[m]{a} \times \sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^n} \times {a^m}}}\)
  5. \(\frac{{\sqrt[m]{a}}}{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{{\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}}}}\)


Logaritma

Teori Logaritma pada mulanya diperkenalkan oleh seorang Ilmuwan yang berasal dari skotlandia. Dia adalah John Napier yang lahir ditahun 1550M di kota Edinburgh, Skotlandia. teori atau konsep Logaritma dapat diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, diantaranya seperti : perhitungan bunga bank, laju pertumbuhan bakteri (bidang mikroba) dan dapat juga untuk menentukan umur atau lamanya sebuah fosil terkubur dan masih banyak lagi yang lainnya.
Logaritma sebenarnya merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan, sehingga logaritma dapat pula didefinisikan sebagai berikut:
\(x~ =~ a ~\Leftrightarrow {}^a\log x~ = ~n\) untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > 0


Keterangan:
a = bilangan pokok atau basis logaritma
x = numerus, bilangan yang dicari logaritmanya, x > 0
n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif

Sifat-sifat Logaritma

adapun sifat-sifat algoritma yang perlu kamu hafalin adalah :
  1. \(^a\log a = 1\)
  2. \(^a\log 1 = 0\)
  3. \(^a\log x{ + ^a}\log y{ = ^a}\log (x.y)\)
  4. \(^a\log x{ - ^a}\log y{ = ^a}\log \frac{x}{y}\)
  5. \(^a\log {x^n} = n{.^a}\log x\)
  6. \(^a\log x = \frac{{^c\log x}}{{^c\log a}}\)
  7. \(^a\log x = \frac{1}{{^x\log a}}\)
  8. \({a^{^a\log x}} = x\)
  9. \({}^{a{}^n}\log {x^m} = \frac{m}{n}.{}^a\log x\)
  10. \({}^{\frac{1}{a}}\log x = - {}^a\log x\)
  11. \({}^a\log x.{}^x\log y = {}^a\log y\)
  12. \({}^a\log {a^n} = n\)
  13. \({\log ^2}x = \log x.\log x\)
  14. \({\log ^{ - 1}}x = \frac{1}{{\log x}}\)


Contoh-contoh soal yang berkaitan dengan Perpangkatan, akar dan Logaritma

Contoh Soal 1:Perpangkatan

Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah \({2^{x + 2}}\). Jika panjang dua sisi yang lain adalah 4 dan \({2^{2x + 1}}\), maka nilai x yang memenuhi adalah ⋯⋅

Pembahasan

Karena segitanya siku-siku maka Berdasarkan teorema Pythagoras berlaku :
\[\begin{array}{l}{4^2} + {({2^{2x + 1}})^2} = {({2^{x + 2}})^2}\\ \Leftrightarrow 16 + {2^{4x + 2}} = {2^{2x + 4}}\\ \Leftrightarrow 16 + {2^{4x}}{.2^2} = {2^{2x}}{.2^4}\\ \Leftrightarrow 16 + {({2^{2x}})^2}.4 = {2^{2x}}.16\\\end{array}\] Kita misalkan : \({2^{2x}} = a\) , sehingga di dapat persamaan:
\[\begin{array}{l}16 + {a^2}.4 = 16a\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16a + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0~~~~(kedua~ruas~dibagi~4)\\ \Leftrightarrow {(a - 2)^2} = 0\end{array}\] Jadi diperoleh a = 2 ini berarti \({2^{2x}} = 2\) dan akibatnya didapat nilai x = \(\frac{1}{2}\)

Contoh Soal 2 : Bentuk Akar

Hasil dari \(\sqrt {48} + 2\sqrt {27} - \sqrt {147} \) adalah ...

Penyelesaian

\[\begin{array}{l}\sqrt {48} + 2\sqrt {27} - \sqrt {147} = \sqrt {16 \times 3} + 2\sqrt {9 \times 3} - \sqrt {49 \times 3} \\ = \sqrt {16} \sqrt 3 + 2\sqrt 9 \sqrt 3 - \sqrt {49} \sqrt 3 \\ = 4\sqrt 3 + 6\sqrt 3 - 7\sqrt 3 \\ = 3\sqrt 3 \end{array}\] Jadi hasil dari \(\sqrt {48} + 2\sqrt {27} - \sqrt {147} = 3\sqrt 3 \)

Contoh Soal 3: Logaritma

Hitunglah nilai dari logaritma dibawah ini :
\[{}^9\log 135 - {}^9\log 5 = . . .\]

Penyelesaian :

\({}^9\log 135 - {}^9\log 5 = {}^9\log \frac{{135}}{5}\)
\( \Leftrightarrow {}^9\log 27\)
\( \Leftrightarrow {}^{{3^2}}\log {3^3} = \frac{3}{2}.{}^3\log 3 = \frac{3}{2}\)
Jadi \({}^9\log 135 - {}^9\log 5 = \frac{3}{2}\)
Next Post Previous Post
No Comment
Add Comment
comment url