Memahami Konsep Himpunan dengan Mudah

CS Terpeka

4 Agu, 2021

Untuk dapat memahami konsep Himpunan dengan mudah, mari kita sama-sama gali beberapa informasi penting berikut ini.

Dalam kehidupan sehari-hari, kita tentu pernah menjumpai hal-hal berikut:

sekeranjang jeruk,
sesisir pisang,
sekumpulan semut hitam

Sementara pada matematika kita sering menjumpai:

kumpulan bilangan bulat positif maksimal 10
bilangan genap antara 20 dan 30.

Contoh-contoh seperti itu, jika kita cermati ternyata memiliki kesamaan. Kesamaan yang dimaksud adalah semua objek yang dihimpun dalam suatu kumpulan dan dari masing-masing kumpulan tersebut memiliki ciri-ciri yang jelas.

Pengertian Himpunan

Mari Kita Amati

Untuk lebih mudah dalam memahami konsep himpunan ini, mari kita amati gambar kedai buah dibawah ini.

Gambar di atas memperlihatkan buah-buahan yang dijual di pasar tradisional ataupun supermarket. Apel, jeruk, anggur, dan alpukat dikelompokkan pada masing-masing rak. Wortel, brokoli, paprika, dan bayam juga dikelompokkan dalam rak yang lain . Pengelompokan tersebut disebut dengan himpunan.

Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas.{alertSuccess}

Kumpulan apel, anggur, dan stroberi yang diletakkan dalam satu rak disebut dengan himpunan buah-buahan. Sementara itu, kumpulan wortel, brokoli, paprika, dan bayam yang diletakkan dalam satu rak disebut dengan himpunan sayur-sayuran.

Menyajikan Himpunan

1. Menuliskan Himpunan dengan Menggunakan Kata-Kata

Salah satu cara untuk menuliskan sebuah himpunan ialah dengan menggunakan kata-kata.

A adalah himpunan nama-nama hari dalam seminggu.
B adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahun.
C adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5.
D adalah himpunan bilangan asli kurang dari 1.000.

2. Menulis Himpunan dengan Cara Mendaftar

Cara lain untuk menuliskan sebuah himpunan ialah dengan mendaftar anggota-anggotanya di antara dua tanda kurung kurawal.

A adalah himpunan nama-nama hari dalam seminggu. Penulisan himpunan A dilakukan seperti berikut.
A = {Minggu, Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu}
B adalah himpunan bilangan asli kurang dari atau sama dengan 5. Penulisan himpunan B ditulis seperti berikut.
B = {1, 2, 3, 4, 5}

Lalu bagaimana cara menuliskan suatu himpunan jika jumlah anggotanya sangat banyak dan terhingga? Penulisannya dilakukan dengan cara menuliskan minimal empat anggota pertama. Lalu, dilanjutkan dengan tanda titik sebanyak tiga dan diakhiri dengan menulis anggota terakhir dari himpunan tersebut.{alertInfo}

Pembahasan Soal Ayo Kita Berlatih 5.1 Kelas 7 Mapel Matematika

Contoh Soal

Tuliskan himpunan C dengan cara mendaftar jika diketahui C adalah himpunan bilangan asli dari 1 sampai dengan 1.000.

Jawab:
Dengan cara mendaftar, cara penulisannya ialah seperti berikut.
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 1.000}
Dalam bentuk paling sederhana, cukup menuliskan empat anggota pertama dari himpunan C, dilanjutkan dengan tiga titik dan diakhiri dengan penulisan anggota terakhir.
C = {1, 2, 3, 4, . . . , 1.000}

Aturan Penulisan

Secara umum, aturan penulisan himpunan dengan cara mendaftar dilakukan dengan cara berikut.

Urutan elemen yang ada pada himpunan tersebut tidak harus berurutan dan tidak ada elemen atau anggota himpunan yang ditulis lebih dari satu kali.{alertSuccess}

3. Menulis Himpunan dengan Notasi Pembentuk Himpunan

Cara lain untuk menulis sebuah himpunan adalah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

Contoh Soal

Tuliskan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan.

E adalah himpunan bilangan bulat positif kurang dari 4

Jawab:
Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, cara penulisannya adalah
E = {x | x bilangan bulat positif kurang dari 4}
dibaca "E adalah himpunan semua x dengan syarat x bilangan bulat positif kurang dari 4".

Kesamaan Himpunan

Jika ada pertanyaan seperti "mungkinkah ada dua himpunan yang sama?" atau "mungkinkah ada dua himpunan yang sama bahkan jika lebih dari dua himpunan?". Secara umum, dua himpunan atau lebih dikatakan sama, jika himpunan-himpunan tersebut memenuhi definisi berikut.

Dua himpunan atau lebih dikatakan sama jika setiap elemen yang ada pada himpunan yang satu juga merupakan elemen pada himpunan lainnya, demikian pula sebaliknya.{alertWarning}

Contoh Soal

Himpunan A dan B masing-masing adalah A = {h, a, s, i, m} dan B = {h, i, s, a, m}.
Apa yang dapat kamu simpulkan tentang himpunan tersebut?

Jawab:
Karena urutan penulisan elemen pada himpunan tidak harus urut, akibatnya jika elemen-elemen dalam himpunan B dibuat sama urutannya dengan himpunan A, maka himpunan B = {h, i, s, a, m} akan menjadi B = {h, a, s, i, m}.
Sebaliknya, jika elemen-elemen dalam himpunan A = {h, a, s, i, m} dibuat sama urutannya dengan himpunan B = {h, i, s, a, m}, maka himpunan A akan menjadi A = {h, i, s, a, m}.
Jadi, A = B

Himpunan Berhingga, Himpunan Kosong, dan Himpunan Tak Hingga

Pada himpunan, jika banyak anggotanya dapat dihitung maka himpunan itu disebut himpunan berhingga. Jika tidak mempunyai anggota maka himpunan itu disebut himpunan kosong. Jika anggotanya banyak dan tak terhitung maka himpunan itu disebut himpunan tak hingga. Sementara itu, jika suatu himpunan berupa himpunan kosong, maka banyaknya anggota himpunan itu adalah 0 (nol).

Kesimpulan :
Untuk A berupa himpunan kosong, yakni \(A = \emptyset \), maka banyaknya anggota A ditulis dengan lambang: \(n(A) = n(\emptyset ) = 0\)
Untuk A berupa himpunan tak berhingga maka \(n(A) = \infty \), sehingga untuk setiap himpunan A, banyak anggota himpunan A adalah \(0 \le n(A) \le \infty \){alertWarning}

Himpunan Bagian, Himpunan Semesta, dan Himpunan Kuasa

1. Himpunan Bagian

Misalkan diketahui himpunan-himpunan seperti berikut.
A = {a}, B = {a, b}, dan C = {a, b, c}.
A ⊂ B ⊂ C dibaca “A termuat dalam B dan B termuat dalam C“
atau
“A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari C“.

Pembahasan Latihan 1.1 Kelas 9 SMP Halaman 10 Materi Perpangkatan

Contoh Soal

Tuliskan semua himpunan bagian dari H = {a, b, c}.

Jawab:
Himpunan-himpunan bagian dari himpunan H = {a, b, c}, terdiri dari: a. Himpunan bagian yang banyak anggotanya 0 (tak memiliki anggota) adalah ∅ atau { }.
b. Himpunan bagian yang beranggotakan 1 elemen adalah {a}, {b}, {c}.
c. Himpunan bagian yang beranggotakan 2 elemen adalah {a, b}, {a, c}, {b, c}.
d. Himpunan bagian yang beranggotakan 3 elemen adalah {a, b, c}.
Jadi, himpunan bagian dari H = {a, b, c} adalah ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, dan {a, b, c}.

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta merupakan kebalikan dari himpunan bagian. Contohnya, H = {a, b, c, d, e}. Karena banyaknya anggota H adalah 5 elemen, maka n(H) = n = 5. Jadi, total banyaknya himpunan bagian dari H adalah n(H) = 2ⁿ = 2⁵ = 32.
Himpunan semesta dari ke-32 himpunan bagian tersebut adalah himpunan bagian terbesarnya.

Himpunan semesta pada umumnya ditulis dengan lambing S, sehingga semesta dari semua himpunan bagian dari H adalah himpunan S yang merupakan himpunan H itu sendiri, yakni S = H = {a, b, c, d, e}.
Secara formal (dalam matematika), definisi dari himpunan semesta adalah sebagai berikut.

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat anggota atau objek yang dibicarakan.{alertSuccess}

3. Himpunan Kuasa

Misalkan himpunan semesta S beranggotakan tiga elemen, yakni S = {a, b, c}.
“Bagaimana cara menentukan semua himpunan bagian dari himpunan S?“.
Selidiki bahwa himpunan bagian dari S yang beranggotakan nol elemen adalah ∅.

Himpunan bagian dari S yang beranggotakan satu elemen adalah {a}, {b}, {c}.
Selanjutnya, himpunan bagian dari S yang beranggotakan dua elemen adalah {a, b}, {a, c}, {b, c}.
Terakhir, himpunan bagian dari S yang beranggotakan 3 elemen adalah S itu sendiri yakni S = {a, b, c}.
Kini, dari semua himpunan bagian S yang terdiri atas Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b},{a, c}, {b, c}, dan {a, b, c} kita bentuk himpunan baru berupa:
\({H_S} = \{ \emptyset ,\{ a\} ,\{ b\} ,\{ c\} ,\{ a,b\} ,\{ a,c\} ,\{ b,c\} ,\{ a,b,c\} \} \)
Jadi, \({H_S}\) disebut himpunan kuasa dari S yang himpunan terbesarnya adalah S = {a, b, c}.

Untuk sementara sampai disini dulu pembahasan kita kali ini, untuk lain kali kalau ada waktu baru akan saya lanjutkan kembali pada postingan selanjutnya. Jadi pantau terus kelasmat.com agar pemahamanmu mengenai himpunan lebih mantap lagi.

Memahami Konsep Himpunan dengan Mudah